Qu’est-ce que la Mécanique quantique !

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La mécanique quantique au sens strict (telle qu’elle est enseignée) décrit le comportement des particules microscopiques (électrons, protons, neutrons, ou des systèmes plus complexes tels qu’atomes et molécules) dans un cadre non-relativiste et dans le cas où les particules sont conservées. Plus largement, on parle de physique quantique.

Cette théorie est d’ailleurs tellement bizarre que l’un de ses plus fameux contributeurs, le physicien Richard Feynman disait à son propos :

« Si vous croyez comprendre la mécanique quantique, c’est que vous ne la comprenez pas »

Sommaire

  • 1 La théorie des quanta, explication du rayonnement du corps noir
  • 2 L’effet photoélectrique
  • 3 L’effet Compton
  • 4 Les relations de de Broglie
  • 5 La relation fréquence/énergie
  • 6 L’équation de Schrödinger
  • 7 Les inégalités de Heisenberg
  • 8 Les réponses apportées par la mécanique quantique
  • 9 Quelques paradoxes
  • 9.1 Chat de Schrödinger
  • 9.2 Paradoxe EPR (Einstein Podolski Rosen) et expérience d’Alain Aspect
  • 9.3 « Télétransport quantique »
  • 9.4 Expérience de Marlan Scully
  • 10 Articles apparentés
  • 11 Liens externes

La théorie des quanta, explication du rayonnement du corps noir

Le rayonnement du corps noir est le rayonnement produit par un corps en équilibre thermodynamique avec son milieu. Nous pouvons nous le représenter en imaginant une enceinte fermée percée d’un trou minuscule. Le matériau est supposé absorbant, le rayonnement émis à l’intérieur de l’enceinte subit de multiples réflexions, émissions et absorptions avant de sortir par le trou. L’enceinte et son rayonnement sont en équilibre thermique. Les caractéristiques de ce rayonnement ne dépendent pas de la nature du matériau, mais de sa température. Nous appelons ce rayonnement : rayonnement du corps noir.

À la fin du XIXe siècle, la théorie classique était incapable d’expliquer la théorie du rayonnement du corps noir, ce qui a abouti à la catastrophe ultra-violette : l’énergie émise tendait théoriquement vers l’infini, ce qui était évidemment en contradiction avec l’expérience.

Max Planck proposa en 1900 une loi, qui porte son nom, qui décrit la densité du rayonnement en fonction de la température. Cette loi impose de penser le rayonnement électromagnétique comme étant quantifié, échangé par paquets : . Cette loi sera par la suite démontrée par Albert Einstein.

La loi de Planck s’écrit :

B_\lambda(T)=\frac8\pihc\lambda^5(e^\frachc\lambdakT-1)

L’effet photoélectrique

Au début du XXe siècle, les physiciens ont remarqué que lorsque nous éclairons un métal avec une lumière, celui-ci émet des électrons. Leur énergie dépend de la longueur d’onde de la lumière incidente, et leur nombre dépend de l’intensité lumineuse, ce qui est incompréhensible au sein du modèle ondulatoire de la lumière. Si la lumière incidente a une fréquence en dessous d’un certain seuil, rien ne se passe.

Einstein proposa en 1905 un article expliquant ce phénomène. Les photons sont porteurs de l’énergie . Les électrons absorbant les photons acquièrent cette énergie, si elle est suffisante, les atomes sont ainsi ionisés. Et donc les électrons ont alors l’énergie :

Cet article lui valut le titre de docteur dès 1905, et le prix Nobel de physique en 1921.

L’effet Compton

Toujours à la fin du XIXe siècle, les physiciens ont constaté que les électrons pouvaient interagir avec la lumière. Dans le cadre de la mécanique quantique, l’interprétation de l’effet considère le choc photon-électron, comme un choc entre les deux particules. Les photons sont diffusés suivant des directions variables et révèlent une variation de longueur d’onde dépendant de la direction de sortie. La théorie classique n’arrivait pas à expliquer la variation observée de longueur d’onde en fonction de la direction.

La théorie quantique propose cette équation pour la diffusion des électrons :

\Delta \lambda = 4\pi\frac\hbarmc\sin^2\theta \over 2

Considérons un photon venant de la gauche se dirigeant vers la droite avec une impulsion \vecp, celui-ci est diffusé par un électron au repos, dans une direction faisant un angle par rapport à la direction d’origine ; l’électron prenant une direction , l’impulsion du photon sera \vecp’ et celui de l’électron \vecP’. Nous allons appliquer la loi de la conservation de l’impulsion, et de la conservation de l’énergie.

\left{\beginmatrix p & = & p’\cdot\cos\theta + P’\cdot\cos\Theta & (1)\ 0 & = & p’\cdot\sin\theta + P’\cdot\sin\Theta & (2)\ pc + mc^2 & = & p’c + \sqrtP’^2c^2 + m^2c^4 & (3) \endmatrix\right.

Cela donne :

\left{\beginmatrix P’^2cos^2\Theta & = & (p - p’\cdot\cos\theta)^2 & (1)\ P’^2sin^2\Theta & = & p’^2\sin^2\theta & (2)\ P’^2c^2 + m^2c^4 & = & (pc - p’c)^2 + m^2c^4 - 2mc^2(pc - p’c) & (3) \endmatrix\right.

On additionne (1) et (2) :

\left{\beginmatrix P’^2 & = & p^2+p’^2 - 2pp’\cdot\cos\theta\ P’^2 & = & (p-p’)^2 - 2mc(p - p’) \endmatrix\right.

On obtient :

\left{\beginmatrix p^2 + p’^2 - 2pp’\cdot\cos\theta & = & p^2 - 2pp’ + p’^2 - 2mc(p-p’)\ 2pp’(1 - cos\theta) & = & -2mc(p - p’) \endmatrix\right.

En considérant que p est proche de p’ et que ; on obtient :

\left{\beginmatrix p^2(1 - \cos\theta) & = & mc \Delta p \ \endmatrix\right.

On remarque que :

\Delta\left(\frac1p\right) = \frac\Delta pp^2

Or :

p = \frach\lambda d’où : \Delta\left(\frac\lambdah\right)=\frac\Delta \lambdah

D’où :

\Delta \lambda = \frachmc(1 - \cos\theta)

et donc :

\Delta \lambda = \frac4 \pi \hbarmc\sin^2\theta \over 2

CQFD

remarque :

l’effet Compton n’est bien sûr pas limité au couple photon-électron. Toute particule chargée électriquement est susceptible d’y être soumise ; cependant, l’effet est plus spectaculaire pour l’électron, la variation de longueur d’onde étant inversement proportionnelle à la masse de la particule (l’électron est la plus légère des particules chargées de l’Univers « ordinaire »).

Les relations de de Broglie

Alors qu’il était clair que la lumière présentait une dualité onde-corpuscule, Louis de Broglie proposa de généraliser cette dualité à toutes les particules connues, même si les interférences des électrons n’étaient pas encore observées. Louis de Broglie proposa d’associer à chaque particule d’énergie , une pulsation , d’impulsion une longueur d’onde

. Les relations de de Broglie s’écrivent :

\left{\beginmatrixE=h\nu\p=\frach\lambda\endmatrix\right. soit \left{\beginmatrixE=\hbar\omega\\vecp=\hbar\veck\endmatrix\right.

La relation fréquence/énergie

Au début du XXe siècle, l’observation expérimentale des spectres formés de raies monochromatiques, des effets à seuil tel que l’effet photoélectrique et aussi de l’analyse par Max Planck du rayonnement d’un corps chaud plus connu sous le nom du rayonnement du corps noir, conduisit à remettre en question toute une partie de la physique connue à l’époque. Ainsi on fut amené à émettre l’hypothèse que le rayonnement électromagnétique était quantifié : l’énergie transportée par ce rayonnement ne pouvait pas prendre n’importe quelle valeur, mais uniquement un multiple d’une valeur qu’on a appelé quantum de lumière, ou photon. Cette hypothèse fut d’abord émise par Max Planck puis par Einstein qui reçu le prix Nobel pour son interprétation de l’effet photoélectrique, premier signe tangible de l’existence des photons.

Cette relation qui exprime la quanta de l’énergie s’écrit ainsi :

est la constante de Planck ou quantum d’action ( joule s)
est la variation d’énergie du système (émise ou absorbé)
et (lettre grecque se prononcant nu) est la fréquence du rayonnement émis ou absorbé.

Cette relation exprime qu’il y a un lien direct et universel entre la fréquence d’un rayonnement électromagnétique et les variations d’énergie qui se sont produites : les deux sont simplement proportionnels.

Cette relation n’est pas toujours applicable : en effet les transferts d’énergie sont quantifiés ; un atome ne peut se placer qu’à des niveaux d’énergie bien définis, et si une onde électromagnétique apporte trop ou pas assez d’énergie, l’atome n’absorbera rien.

L’équation de Schrödinger

A chaque particule est associée une onde. Il est connu en mécanique classique qu’une onde plane se propageant dans la direction des x positifs de pulsation s’écrit :

Si nous utilisons les relations de de Broglie, nous pouvons faire apparaître les grandeurs telles que l’énergie et l’impulsion :

\Psi(x,t)=\Psi_0e^-i(\fracE\hbart-\fracp_x\hbarx)

Nous pouvons généraliser cette expression en 3 dimensions :

\Psi(\vecr,t)=\Psi_0e^-\fraci\hbar(Et-\vecp\cdot\vecr)

Il est alors clair que si l’on veut obtenir l’énergie, il suffit de dériver par rapport au temps, et pour obtenir l’impulsion, on prend le gradient :

\left{\beginmatrix i\hbar\frac\partial\Psi\partialt & = & E\Psi(\vecr,t)\ -i\hbar\nabla\Psi & = & \vecp\Psi(\vecr,t) \endmatrix\right.

L’hamiltonien permettant de donner l’énergie du système est donné par l’expression classique :

E=\fracp^22m+V(\vecr,t)

L’équation de Schrödinger s’écrit alors :

i\hbar\frac\partial\Psi(\vecr,t)\partialt=-\frac\hbar^22m\Delta\Psi(\vecr,t)+V(\vecr,t)\Psi(\vecr,t)

Cette équation est valable pour de petites vitesses. Il existe une équation d’onde relativiste correspondant à l’équation de Klein-Gordon. Tout d’abord écrivons l’équation de l’énergie pour une particule relativiste :

L’équation de Klein-Gordon s’écrit alors :

-\hbar^2\frac\partial^2\Psi(\vecr,t)\partialt^2=-\hbar^2c^2\Delta\Psi(\vecr,t)+m^2c^4\Psi(\vecr,t)

Cette équation est valable en physique quantique relativiste pour les bosons non chargés, comme par exemple le photon.

L’équation s’écrit aussi :

\left(\Box+\fracm^2c^2\hbar^2\right)\Psi(\vecr,t)=0

Il existe une autre équation pour les fermions : l’équation de Dirac.

L’équation de Schrödinger ne se prête pas dans le cas général à une résolution symbolique. Il faut la résoudre numériquement, et c’est cette résolution numérique qui fait apparaître la disposition curieuse des orbitales électroniques.

Les inégalités de Heisenberg

Les relations d’incertitude d’Heisenberg traduisent l’impossibilité de connaître simultanément la position et l’impulsion d’une particule avec une précision infinie. Plus on connait la position ( petit) alors moins on connait l’impulsion ( grand) et inversement. Cette propriété rappelle le cas des ondes, via un résultat de la transformée de Fourier, et exprime ici la dualité onde-corpuscule. Il est clair qu’il faut abandonner la notion classique de trajectoire, de particules ponctuelles. De plus la deuxième inégalité correspond au temps nécessaire à la détection d’une particule d’énergie . (ce concept est primordial en théorie quantique des champs qui fait appel aux particules virtuelles).

\left{\beginmatrix \Deltar\cdot\Deltap & \ge & \frac\hbar2\ \DeltaE\cdot\Deltat & \ge & \frac\hbar2 \endmatrix\right.

Les réponses apportées par la mécanique quantique

Un autre problème se posait à l’époque, celui des niveaux d’énergie des atomes, qui étaient discrets, et non continus comme pouvait le laisser prévoir la mécanique classique. La mécanique quantique a apporté une réponse à cette question, en considérant que les particules de matière étaient non pas des particules ponctuelles, mais qu’elles avaient une étendue spatiale et qu’elles se comportaient comme des ondes (voir la mécanique ondulatoire de de Broglie).

Un autre grand succès de la mécanique fut de résoudre le paradoxe de Gibbs, une constatation que selon la mécanique classique, l’entropie n’est pas une propriété extensive. L’accord entre les mesures et la théorie fut rétabli par la mécanique quantique en tenant compte du fait que des particules identiques ne sont, en général, pas distinguables.

Elle permet de décrire les structures électroniques des atomes et des matériaux, et permet ainsi d’expliquer le comportement des supraconducteurs, de la matière condensée (cristaux et leurs vibrations appelées phonons, structure de bandes, comportement des semi-conducteurs, effet tunnel).

La théorie quantique qui décrit ce qui se passe dans un cadre relativiste, le seul à pouvoir prendre en compte la non conservation des particules et donc les désintégrations nucléaires, est la théorie quantique des champs.

Quelques paradoxes

Ces « paradoxes » ne font état d’aucune faille dans la mécanique quantique, mais révèlent au contraire à quel point notre intuition peut se révéler trompeuse dans ce domaine qui ne relève pas directement de l’expérience quotidienne de nos sens.

Chat de Schrödinger

    • Ce paradoxe est détaillé dans l’article Chat de Schrödinger.
    • Paradoxe EPR (Einstein Podolski Rosen) et expérience d’Alain Aspect
    • Ce paradoxe est décrit dans l’article Paradoxe EPR.

« Télétransport quantique »

L’expression est en fait à la limite de l’abus de langage. On ne peut déterminer l’état d’un système quantique qu’en l’observant, ce qui a pour effet de détruire l’état en question. Celui-ci peut en revanche, une fois connu, être en principe recréé ailleurs. En d’autres termes, la duplication n’est pas possible dans le monde quantique, seule l’est une reconstruction en un autre endroit, superficiellement voisine de ce que la science-fiction (par exemple Star trek) nommait téléportation pour les objets macroscopiques.

* Télétransport quantique (anglais, schémas)

Les particules intriquées d’Anton Zeilinger

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